כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
כל שדה הוא בפרט חוג, הומומורפיזמים של שדות על שלל סוגיהם הם פשוט הומומורפיזמים של חוגים אלא שהתחום והטווח שלהם הם שדות, בפרט נאמר ששני שדות איזומורפיים זה לזה אם קיים איזומורפיזם של חוגים ביניהם.
יהי \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 1.1. המציין של \(\MKfield\) (נקרא גם המאפיין של \(\MKfield\)) הוא הסדר של \(1\) בחבורה החיבורית של \(\MKfield\) כאשר סדר זה סופי, ואם אינו סופי יהיה המציין\(0\); בכל מקרה נסמן את המציין ב-\(\MKchar\left(\MKfield\right)\).
למה להגדיר את המציין להיות \(0\) ולא \(\infty\)? כך לא יהיה צורך לחלק למקרים וזה טבעי הרבה יותר.
טענה. \(\MKchar\left(\MKfield\right)\) הוא מספר ראשוני או ש-\(\MKchar\left(\MKfield\right)=0\).
מסקנה. \(\MKfield_{p}\) ניתן לשיכון בכל שדה ממציין \(p\) ראשוני, ו-\(\MKrational\) ניתן לשיכון בכל שדה ממציין \(0\).
הגדרה 1.2. השדה הראשוני של \(\MKfield\) הוא \(\MKfield_{p}\) אם \(p:=\MKchar\left(\MKfield\right)\) ראשוני, ואחרת יהיה \(\MKrational\)השדה הראשוני של \(\MKfield\).
\(\:\)
יהי \(\MKfield\) שדה.
טענה 1.3. אם \(\MKchar\left(\MKfield\right)\neq0\) אז \(\MKchar\left(\MKfield\right)\) הוא מספר ראשוני.
מסקנה 1.4. \(\MKfield_{p}\) ניתן לשיכון בכל שדה ממציין \(p\) ראשוני, ו-\(\MKrational\) ניתן לשיכון בכל שדה ממציין \(0\).
מסקנה 1.5. אם \(\MKfield\) סופי אז \(\MKchar\left(\MKfield\right)\) הוא מספר ראשוני.
מסקנה 1.6. אם \(\MKfield\) סופי אז קיים ראשוני \(p\) ו-\(e\in\MKnatural\) כך ש-\(\left|\MKfield\right|=p^{e}\).
למה 1.7. יהי \(0\neq f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ונסמן \(n:=\deg f\), חוג המנה \(\nicefrac{\MKfield\left[x\right]}{\left(f\right)}\) הוא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\), ו-\(\left(1+\left(f\right),x+\left(f\right),\ldots,x^{n-1}+\left(f\right)\right)\) הוא בסיס שלו (בפרט \(\dim\left(\nicefrac{\MKfield\left[x\right]}{\left(f\right)}\right)=n\)).
בספר הקורס כתוב ש-\(f\) נדרש להיות מתוקן, אין לי מושג למה יש בזה צורך.
מסקנה 1.8. נניח ש-\(p:=\MKchar\left(\MKfield\right)\neq0\), יהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום אי-פריק ונסמן \(n:=\deg f\); חוג המנה \(\nicefrac{\MKfield\left[x\right]}{\left(f\right)}\) הוא שדה סופי בגודל \(p^{n-1}\).
טענה 1.9. אם \(\MKfield\) סופי אז החבורה הכפלית \(\MKfield^{\times}\) היא חבורה ציקלית.
משפט 1.10. אם \(\MKfield\) סופי אז קיימים \(p\) ראשוני ופולינום \(f\in\MKfield_{p}\left[x\right]\) אי-פריק (ב-\(\MKfield_{p}\left[x\right]\)) כך ש-\(\MKfield\cong\nicefrac{\MKfield_{p}\left[x\right]}{\left(f\right)}\).
טענה 1.11. כל הומומורפיזם \(\varphi\in\MKaut\left(\MKfield\right)\) שאינו הומומורפיזם האפס הוא חח"ע.
2 הרחבת שדות
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. יהיו \(\MKbbe\) שדה ו-\(\MKfield\subseteq\MKbbe\) תת-שדה, במקרה כזה נאמר ש-\(\MKbbe\) הוא שדה הרחבה של \(\MKfield\) או ש-\(\MKbbe\)מרחיב את \(\MKfield\) ונסמן \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\)1אין שום קשר לחוג מנה, זהו סימון בלבד שאינו קשור בשום צורה שהיא.. שדה \(\MKbbk\) ייקרא שדה ביניים של ההרחבה \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) אם \(\MKfield\) הוא תת-שדה של \(\MKbbk\) ו-\(\MKbbk\) הוא תת-שדה של \(\MKbbe\).
\(\clubsuit\)
פעמים רבות נכתוב תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות וכדומה, וכוונתנו תהיה "יהיו \(\MKfield\) ו-\(\MKbbe\) שדות כך ש-\(\MKbbe\) הוא שדה הרחבה של \(\MKfield\).
סימון:
אם \(\MKbbe\) נוצר סופית כמרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) אז נסמן ב-\(\dim_{\MKfield}\MKbbe\) את הממד של \(\MKbbe\) כמו מעל \(\MKfield\).
סימון:
עבור קבוצה סופית \(\left\{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\right\} \subseteq\MKbbe\) נכתוב גם \(\MKfield\left(s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\right):=\MKfield\left(\left\{ s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}\right\} \right)\).
\(\clubsuit\)
העובדה שאיבר \(\alpha\in\MKbbe\) הוא אלגברי מעל \(\MKfield\) אומרת שלמרות שבלמה האחרונה אין מגבלה על דרגת הפולינומים, בפועל יש כזו מפני שתמיד אפשר לחלק (עם שארית) את הפולינומים בפולינום שמאפס את \(\alpha\) ולקחת רק את השארית.
סימון:
לכל \(\alpha\in I\) נסמן \(I_{\alpha}:=\left\{ P\in\MKfield\left[x\right]:P\left(\alpha\right)=0\right\} \).
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שיש כאן כמה אפשרויות:
\(X\) יכולה להיות סופית ואז קיימים תתי-שדות \(F_{1},F_{2},\ldots,F_{r}\subseteq\MKfield\) כך ש-\(X=\left\{ F_{1},F_{2},\ldots,F_{r}\right\} \), ואז החיתוך של כל תתי-השדות בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{i=1}^{r}F_{i}
\]
\(X\) יכולה להיות אין-סופית בת-מנייה, כלומר ניתן לסדר את איבריה בסדרה אינסופית: \(X=\left\{ F_{1},F_{2},\ldots\right\} \) ואז החיתוך של כל תתי-השדות בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{i=1}^{\infty}F_{i}
\]
\(X\) יכולה להיות אין-סופית שאינה בת-מנייה, כלומר א"א לסדר את איבריה בסדרה אינסופית, ואז החיתוך של כל תתי-השדות בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{F\in X}F
\]
בכל מקרה החיתוך של כל תתי-השדות ב-\(X\) הוא הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
a\in\MKfield & \forall F\in X:a\in F\end{array}\right\}
\]
\(\clubsuit\)
עבור \(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\in\MKbbe\) ניתן להכליל את הלמה ע"י:\[
\MKfield\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)=\left\{ \begin{array}{c|c}
\frac{P\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)}{Q\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)} & P,Q\in\MKfield\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right],\ Q\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)\neq0\end{array}\right\}
\]כאשר \(\MKfield\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right]\) הוא חוג הפולינומים מעל \(\MKfield\) ב-\(n\) משתנים, כלומר כל איבר ב-\(\MKfield\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right]\) הוא סכום סופי של מכפלות סופיות של \(n\) המשתנים הללו זה בזה, ובנוסף החיבור והכפל מוגדרים כמו שהיינו מצפים (כמובן שפורמלית מדובר במחרוזות טקסט כמו בפולינומים רגילים, אבל אתם ממש לא רוצים שאנסה לכתוב כאן את ההגדרה הזו).
סימון:
לכל שדה \(\MKfield\) נסמן ב-\(\MKfield\left(t\right)\) את שדה הפונקציות הרציונליות מעל \(\MKfield\), כלומר:\[
\MKfield\left(t\right):=\left\{ \begin{array}{c|c}
{\displaystyle \frac{P\left(t\right)}{Q\left(t\right)}} & P,Q\in\MKfield\left[x\right],\ Q\neq0\end{array}\right\}
\]
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
הגדרה 2.2. אם \(\MKbbe\) נוצר סופית כמרחב וקטורי מעל \(\MKfield\), אז דרגת ההרחבה של \(\MKbbe\) היא \(\left[\MKbbe:\MKfield\right]:=\dim_{\MKfield}\MKbbe\) ונאמר ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה סופית, אחרת נכתוב \(\left[\MKbbe:\MKfield\right]=\infty\) ונאמר ש-\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה אין-סופית.
טענה. תהא \(X\) קבוצת תתי-שדות של שדה \(\MKfield\), החיתוך של כל תתי-השדות ב-\(X\) הוא תת-שדה של \(\MKfield\), וזהו השדה הגדול ביותר (ביחס להכלה) שמוכל בכל תתי-השדות ב-\(X\).
הגדרה 2.3. תהא \(S\subseteq\MKbbe\), נסמן ב-\(\MKfield\left(S\right)\) את החיתוך של כל תתי-השדות של \(\MKbbe\) המכילים את \(\MKfield\cup S\), \(\MKfield\left(S\right)\) ייקרא תת-השדה של \(\MKbbe\)הנוצר עי \(S\).
מסקנה 2.4. תהא \(S\subseteq\MKbbe\) תת-קבוצה, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
\(\MKfield\left(S\right)\) הוא תת-שדה של \(\MKbbe\).
\(S\subseteq\MKfield\left(S\right)\).
לכל תת-שדה \(E\subseteq\MKbbe\) המכיל את \(S\) מתקיים \(\MKfield\left(S\right)\subseteq E\).
הגדרה 2.5. יהי \(\MKbbk\subseteq\MKbbe\) תת-שדה, נאמר שתת-קבוצה \(S\subseteq\MKbbk\) היא קבוצת יוצרים של \(\MKbbk\) מעל \(\MKfield\) אם \(\MKbbk=\MKfield\left(S\right)\).
הגדרה 2.6. \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) תיקרא הרחבה נוצרת סופית אם קיימת קבוצה סופית \(S\subseteq\MKbbe\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(S\right)\), ותיקרא הרחבה פשוטה אם קיים \(\alpha\in\MKbbe\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\alpha\right)\) (\(\alpha\) כזה ייקרא יוצר פרימיטיבי של \(\MKbbe\) מעל \(\MKfield\)).
הגדרה 2.7. איבר \(\alpha\in\MKbbe\) ייקרא אלגברי מעל \(\MKfield\) אם קיים \(0\neq P\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\left(\alpha\right)=0\), אחרת ייקרא טרנסצנדנטי. \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) תיקרא הרחבה אלגברית אם כל איברי \(\MKbbe\) אלגבריים מעל \(\MKfield\), אחרת תיקרא טרנסצנדנטית.
טענה. \(I_{\alpha}\) הוא אידיאל של \(\MKfield\left[x\right]\), ו-\(\alpha\) הוא איבר אלגברי מעל \(\MKfield\) אם"ם \(I_{\alpha}\neq\left\{ 0\right\} \).
הגדרה 2.8. יהי \(\alpha\in\MKbbe\) איבר אלגברי מעל \(\MKfield\), הפולינום המינימלי של \(\alpha\) מעל \(\MKfield\) הוא הפולינום המתוקן היוצר את האידיאל \(I_{\alpha}\), פולינום זה יסומן ב-\(m_{\alpha}\) וכמו כן הדרגה של \(\alpha\) מעל \(\MKfield\) תוגדר ע"י \(\deg_{\MKfield}\left(\alpha\right):=\deg\left(m_{\alpha}\right)\).
\(\:\)
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
משפט 2.9. תהא גם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKbbe}\) הרחבת שדות (מהגדרה גם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבת שדות), אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) ו/או \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKbbe}\) הן הרחבות אין-סופיות אז גם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבה אין-סופית, ואם שתיהן הרחבות סופיות אז גם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) היא הרחבה סופית ומתקיים:\[
\left[\MKbbk:\MKfield\right]=\left[\MKbbk:\MKbbe\right]\cdot\left[\MKbbe:\MKfield\right]
\]
טענה 2.10. תהא \(X\) קבוצת תתי-שדות של שדה \(\MKfield\), החיתוך של כל תתי-השדות ב-\(X\) הוא תת-שדה של \(\MKfield\), וזהו השדה הגדול ביותר (ביחס להכלה) שמוכל בכל תתי-השדות ב-\(X\).
למה 2.11. לכל \(\alpha\in\MKbbe\) מתקיים:\[
\MKfield\left(\alpha\right)=\left\{ \begin{array}{c|c}
\frac{P\left(\alpha\right)}{Q\left(\alpha\right)} & P,Q\in\MKfield\left[x\right],\ Q\left(\alpha\right)\neq0\end{array}\right\}
\]
טענה 2.12. יהי \(\alpha\in\MKbbe\), \(I_{\alpha}\) הוא אידיאל של \(\MKfield\left[x\right]\), ובנוסף \(\alpha\) הוא איבר אלגברי מעל \(\MKfield\) אם"ם \(I_{\alpha}\neq\left\{ 0\right\} \).
טענה 2.13. יהי \(\alpha\in\MKbbe\) איבר אלגברי מעל \(\MKfield\); \(m_{\alpha}\) הוא פולינום אי-פריק ב-\(\MKfield\left[x\right]\), ולכל \(P\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\left(\alpha\right)=0\) מתקיים \(m_{\alpha}\mid P\).
מסקנה 2.14. יהי \(\alpha\in\MKbbe\) איבר אלגברי מעל \(\MKfield\) ויהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום מתוקן ואי-פריק, אם \(P\left(\alpha\right)=0\) אז \(P=m_{\alpha}\).
טענה 2.15. יהי \(\alpha\in\MKbbe\) איבר אלגברי מעל \(\MKfield\), מתקיים \(\MKfield\left(\alpha\right)\cong\nicefrac{\MKfield\left[x\right]}{\left(m_{\alpha}\right)}\) ו-\(\left[\MKfield\left(\alpha\right):\MKfield\right]=\deg_{\MKfield}\left(m_{\alpha}\right)\).
מסקנה 2.16. יהיו \(\alpha,\beta\in\MKbbe\) איברים אלגבריים מעל \(\MKfield\) כך ש-\(m_{\alpha}=m_{\beta}\), מתקיים \(\MKfield\left(\alpha\right)\cong\MKfield\left(\beta\right)\).
מסקנה 2.17. יהי \(\alpha\in\MKbbe\) איבר אלגברי מעל \(\MKfield\) ונסמן \(n:=\deg_{\MKfield}\left(m_{\alpha}\right)\), מתקיים \(\MKfield\left(\alpha\right)=\left\{ P\left(\alpha\right)\mid P\in\MKfield\left[x\right],\ \deg P<n\right\} \).
מסקנה 2.18. לכל \(\alpha\in\MKbbe\), \(\alpha\) הוא איבר אלגברי מעל \(\MKfield\) אם"ם ההרחבה \(\MKfield\left(\alpha\right)/\MKfield\) סופית.
טענה 2.19. התנאים הבאים שקולים:
\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה סופית.
\(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית.
קיימים \(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\in\MKbbe\) אלגבריים מעל \(\MKfield\) כך ש-\(\MKbbe=\MKfield\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)\).
מסקנה 2.20. הקבוצה \(\left\{ \alpha\in\MKbbe\mid\MKfield\ \text{אלגברי מעל}\ \alpha\right\} \) היא תת-שדה של \(\MKbbe\).
מסקנה 2.21. תהא גם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKbbe}\) הרחבת שדות, אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) ו-\(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) הן הרחבות אלגבריות אז גם \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKbbe}\) היא הרחבה אלגברית.
טענה 2.22. \(\nicefrac{\MKfield\left(t\right)}{\MKfield}\) היא הרחבה פשוטה שאינה אלגברית.
\(\:\)
3 שדות פיצול
3.1 הגדרות
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
הגדרה 3.1. נאמר שפולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\)מתפצל בשדה הרחבה \(\MKbbe\) אם ניתן להציגו כמכפלה של גורמים ליניאריים ב-\(\MKbbe\left[x\right]\), כלומר אם קיימים \(\MKseq a,{\deg f},c\in\MKbbe\) כך שמתקיים:\[
f\left(x\right)=c\cdot\prod_{i=1}^{\deg f}\left(x-\alpha_{i}\right)
\]
הגדרה 3.2. נאמר ששדה הרחבה \(\MKbbe\) הוא שדה פיצול של פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\), אם \(f\) מתפצל ב-\(\MKbbe\), ובנוסף \(\MKbbe\) הוא שדה הביניים היחיד של \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) שבו \(f\) מתפצל.
\(\clubsuit\)
אנחנו נראה בהמשך שלכל פולינום יש שדה פיצול, ובהמשך נראה גם ששדה פיצול הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם, א"כ מוצדק לדבר עליו בהא הידיעה.
\(\clubsuit\)
מכאן שלכל שדה יש סגור אלגברי.
\(\clubsuit\)
לא הוכחנו זאת, אך לכל שדה יש שדה סגור אלגברית מינימלי (ביחס לשיכון?) יחיד (עד כדי איזומורפיזם).
סימון:
לכל שדה \(\MKfield\) נסמן את אותו שדה סגור אלגברית מינימלי ב-\(\overline{\MKfield}\) ונקרא לו הסגור האלגברי של \(\MKfield\).
\(\clubsuit\)
לא הוכחנו זאת, אך לכל שדה יש שדה סגור אלגברית מינימלי יחיד ( מינימלי ביחס לשיכון ויחיד עד כדי איזומורפיזם).
סימון:
לכל שדה \(\MKfield\) נסמן את אותו שדה סגור אלגברית מינימלי ב-\(\overline{\MKfield}\) ונקרא לו הסגור האלגברי של \(\MKfield\).
הגדרה 3.3. נאמר ש-\(\MKfield\) הוא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(\deg f\geq1\) יש שורש ב-\(\MKfield\).
הגדרה 3.4. נאמר ששדה הרחבה \(\MKbbe\) הוא סגור אלגברי של \(\MKfield\) אם \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) היא הרחבה אלגברית ו-\(\MKbbe\) סגור אלגברית.
משפט. קיימת הרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) כך ש-\(\MKbbe\) סגור אלגברית.
תהא \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) הרחבת שדות.
משפט 3.5. יהי \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום אי-פריק, א"כ \(\nicefrac{\MKfield\left[x\right]}{\left(f\right)}\) הוא שדה הרחבה של \(\MKfield\) ו-\(x+\left(f\right)\) הוא שורש של \(f\) כפולינום מעל \(\nicefrac{\MKfield\left[x\right]}{\left(f\right)}\).
מסקנה 3.6. לכל פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\) יש שדה פיצול, בפרט לכל פולינום \(f\in\MKfield\left[x\right]\) קיים שדה \(\MKbbk\) המרחיב את \(\MKfield\) כך ש-\(f\) מתפצל ב-\(\MKbbk\).
טענה 3.7. יהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ו-\(\MKbbk\) שדה פיצול של \(f\), ויהיו \(\MKseq{\alpha},n\in\MKbbk\) כל השורשים של \(f\); מתקיים \(\MKbbk=\MKfield\left(\MKseq{\alpha},n\right)\).
מסקנה 3.8. לכל \(\MKseq f,n\in\MKfield\left[x\right]\), קיימת הרחבת שדות סופית \(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\) כך שכל הפולינומים הנל מתפצלים ב-\(\MKbbk\).
משפט 3.9. יהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ו-\(\MKbbk\) שדה פיצול של \(f\),ויהיו \(\MKseq{\alpha},n\in\MKbbk\) כל השורשים של \(f\), ונסמן \(X:=\left\{ \MKseq{\alpha},n\right\} \); קיים שיכון של \(\MKgal\left(\nicefrac{\MKbbk}{\MKfield}\right)\) ב-\(S_{X}\).
מסקנה 3.10. יהיו \(f\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום ו-\(\MKbbk\) שדה פיצול של \(f\), דרגת ההרחבה \(\left[\MKbbk:\MKfield\right]\) מחלקת את \(\left(\deg f\right)!\).
משפט 3.11. קיימת הרחבת שדות \(\nicefrac{\MKbbe}{\MKfield}\) כך ש-\(\MKbbe\) סגור אלגברית.
מסקנה 3.12. יש ל-\(\MKfield\) סגור אלגברי.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );